EMD是基于自身局部包络的非线性变换, 本质就是对时变信号进行平稳化处理, 将信号中不同尺度的波动信息逐层分解出来, 得到若干具有窄带性质的IMF。由EMD推广至BEMD, 并非采用EMD的行列信息进行分解, 而是直接把二维图像数据分解成多个尺度的频率分量^[7], 获取图像数据信息。图像包含不同的频率信息, 高频通常反映图像细节, 低频通常反映轮廓。鉴于其具备完全数据驱动的特性, 对图像进行不同频率尺度的分解, 能够准确提取和分解图像不同的尺度信息, 为后续图像处理提供一定的基础。BEMD的筛分过程如下：

1）图像初始化, 输入图像I(m, n), m=1, …, M, n=1, …, N;

2）求出I(m, n)的局部极大值和局部极小值点集, 采用二维曲面插值方法拟合得到上下包络曲面;

3）E₁(m, n)是包络曲面均值, h₁(m, n)是I(m, n)与E₁(m, n)的差值, h₁(m, n)=I(m, n)-E₁(m, n)。

4）循环上述的2）和3）直到h₁(m, n)满足IMF条件, 也就是图像的第一个IMF分量imf₁(m, n), 这是图像中最高的频率分量, h_1k(m, n)=h_1(k-1)(m, n)-E_1k(m, n), imf₁(m, n)=h_1k(m, n)。

5）r₁(m, n)是I(m, n)与imf₁的差值, r₁(m, n)=I(m, n)-imf₁。依此类推, 剩余的IMF分量imf₂到imf_j, r₂(m, n)到r_j(m, n)就是剩余分量。

当r_j(m, n)满足终止条件时, 循环结束。此时原图像表示为

$I(m, n)=\sum_{k=1}^{j} i m f_{k}(m, n)+r_{j}(m, n)$ (2)

imf_j(m, n)是图像按照频率从高到低分解的尺度分量, r_j(m, n)是残余函数, 表示图像分解的剩余趋势, 这也符合多分量图像信号的定义。其中, BEMD在筛分的过程中需要设置停止条件, 选择相邻筛选结果的标准差, 如下式所示

$S D=\sum_{m=1}^{M} \sum_{n=1}^{N}\left[\frac{\left|h_{1(k-1)}(m, n)-h_{1 k}(m, n)\right|^{2}}{h_{1(k-1)}^{2}(m, n)}\right]$ (3)

为了保证IMF分量的稳定性, SD的经验值一般设定在0.1~0.3之间就能满足分解条件。但是利用BEMD去除图像噪声过程中不需要太多的IMF分量, 因此本文中采用设定分解IMF数量进行BEMD分解。同时, 采用镜像延拓的方法处理边界效应, 采用三角剖分的插值方法进行二维曲面拟合, 采用基于形态学方法获取极值点, 此处不再赘述。

本文采用一种基于BEMD二次分解与维纳滤波相结合的算法（secondary BEMD and Wiener filtering, SBEMD-W）进行图像去噪, 算法的核心思想是：首先对含噪图像进行BEMD一次分解, 对噪声集中的前两阶IMF分量进行维纳滤波处理, 然后对该分量进行BEMD二次分解, 对分解后的首阶IMF分量进行维纳滤波处理, 重组所有处理后的IMF和剩余IMF分量, 完成图像去噪过程, 输出图像。算法示意图见图1。

图1

Fig.1

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	图1 SBEMD-W算法示意图Fig.1 Schematic of SBEMD-W (secondary BEMD and Wiener filtering) manipulation

SBEMD-W算法适用于二维图像。同时本文尝试将该方法扩展到彩色图像, 以RGB三色通道分别用SBEMD-W算法进行去噪, 然后重组三个通道信息得到去噪后的图像, 算法流程如图2所示。

图2

Fig.2

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	图2 彩色图像去噪流程图Fig.2 Flowchart of colorful image to denoise

该方法是BEMD算法扩展到彩色图像的一种方法, 有一定的局限性, 没有考虑RGB通道之间的关联性和整个图像的输入输出完备性, 但就整个算法而言有一定的可取之处。

本文采用主观和客观相结合的方法对图像进行质量评价, 现阶段仍然以主观评价为主、客观评价为辅的方式分析各算法间的差异性^[13]。

采用SBEMD-W算法完成图像去噪过程分析, 并将本文算法与小波算法、维纳滤波、总变分去噪算法、BEMD一次分解算法进行比较, 验证本文算法的图像去噪能力、稳定性、鲁棒性等等。

4.1 采用SBEMD-W算法的图像去噪过程分析

实验采用标准的256× 256像素的Lena图像进行分析, 添加均值为0、方差为0.02的高斯白噪声, 如图3所示。本文设定BEMD分解的层数为4。

图3

Fig.3

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	图3 含噪Lena图像Fig.3 Lena image of bearing noise

含噪的Lena图像经过BEMD分解得到4个IMF分量和1个剩余分量, IMF分量如图4中a~d所示。从图4可以看出, 图像噪声主要集中在IMF1和IMF2分量中, 按照本文提出的算法思路, 对这两阶分量图像经过滤波后再次进行BEMD分解, 二次分解结果如图5所示。

图4

Fig.4

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	图4 Lena图像BEMD分解结果（a:IMF1; b:IMF2; c:IMF3; d:IMF4）Fig.4 BEMD disintegration into Lena image (a: IMF1; b: IMF2; c: IMF3; d: IMF4)

图5

Fig.5

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	图5 Lena图像前两阶IMF分量BEMD二次分解结果（a:IMF1-1; b:IMF1-2; c:IMF1-3; d:IMF1-4; e:IMF2-1; f:IMF2-2; g:IMF2-3; h:IMF2-4）Fig.5 Secondary BEMD disintegration into the first two-order IMF componential portions that were obtained from the prior dismantling with Lena image (a: IMF1-1; b: IMF1-2; c: IMF1-3; d: IMF1-4; e: IMF2-1; f: IMF2-2; g: IMF2-3; h: IMF2-4)

从图5可以看出, 对IMF分量进行BEMD二次分解后噪声主要集中在首阶, 对该阶图像进行维纳滤波去除噪声, 然后与剩余的IMF分量重组, 得到去噪后的图像如图6所示。可以看出, 该方法能去除含噪Lena图像绝大部分的噪声, 图像的整体轮廓和细节保持较好, 整体去噪效果不错。

图6

Fig.6

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	图6 去噪后的Lena图像Fig.6 Lena image of de-noising

4.2 二维图像实例对比分析

以4.1节中的含噪Lena图像为例, 将本文算法与小波算法、总变分算法、维纳滤波算法、BEMD一次分解算法进行比较, 去噪后的图像如图7所示。采用均方误差、峰值信噪比和结构相似度三个参数进行客观评价, 客观评价结果见表1。

图7

Fig.7

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	图7 Lena图像去噪（a:原图; b:小波算法; c:总变分算法; d:维纳滤波; e:BEMD一次分解; f:本文算法）Fig.7 Lena image’ s de-noising through various algorithmic manipulations (a: original image; b: Wavelet’ s; c: total variation’ s; d: Wiener filtering’ s; e: BEMD’ s; f: SBEMD-W’ s)

表1

Table 1

表1(Table 1)

表1 Lena图像去噪质量评价表 Table 1 Quality evaluation of Lena image de-noising 算法 均方误差 峰值信噪比 结构相似度 小波算法 213.1106 24.8448 0.6567 总变分算法 192.1996 25.2933 0.5923 维纳滤波 173.9572 25.7264 0.6752 BEMD一次分解 166.9751 25.9043 0.6586 本文算法 153.4915 26.2700 0.7424

表1 Lena图像去噪质量评价表 Table 1 Quality evaluation of Lena image de-noising

从图7可看出, 本文算法与其他经典算法相比, 去噪效果最显著。小波算法在去除噪声的同时, 对细节的处理不是很好; 总变分算法虽然保留了细节, 但是去噪能力稍弱; 维纳滤波和BEMD一次分解的去噪方法保留了边缘细节, 但是能看到明显的颗粒噪声; 本文算法既保证去噪效果又保留了大部分的细节, 整体效果良好。由表1可看出, 本文算法均方误差最小, 峰值信噪比最高, 结构相似度也最高, 证明该算法去噪能力良好, 这也符合理论研究结果。与上述主观评价结果基本保持一致。

4.3 彩色图像实例对比分析

实验采用256× 256像素的Parrots彩色图像进行分析, 添加均值为0、方差为0.02的高斯白噪声, 设定该算法的分解层数为4。将本文算法与小波算法、总变分算法、维纳滤波算法、BEMD一次分解算法进行比较, 如图8所示。客观评价结果见表2。

图8

Fig.8

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	图8 Parrots图像去噪（a:原图; b:小波算法; c:总变分算法; d:维纳滤波; e:BEMD一次分解; f:本文算法）Fig.8 Parrot image’ s de-noising through various algorithmic manipulations (a: original image; b: Wavelet’ s; c: total variation’ s; d: Wiener filtering’ s; e: BEMD’ s; f: SBEMD-W’ s)

表2

Table 2

表2(Table 2)

表2 Parrots图像去噪质量评价表 Table 2 Quality evaluation of parrot image de-noising 算法 均方误差 峰值信噪比 结构相似度 小波算法 197.5594 25.1741 0.7220 总变分算法 193.1197 25.2728 0.5817 维纳滤波 175.9598 25.6774 0.6927 BEMD一次分解 165.9719 25.9326 0.6692 本文算法 147.6347 26.4433 0.7778

表2 Parrots图像去噪质量评价表 Table 2 Quality evaluation of parrot image de-noising

从图8可以看出, 本文算法在彩色图像去噪方面有一定的可取之处。本文算法能够有效去除噪声, 对图像平滑效果比维纳滤波和BEMD一次分解要好, 但在细节处理方面略不足。

目前SBEMD-W算法尚未找到有效的方法对整体彩色图像进行分解, 无法验证整体分解和拆分分解对图像的影响, 这也是后续需要继续研究的关键点。从表2数据可看出, 本文算法均方误差最低, 峰值信噪比最高, 结构相似度也最高, 去噪能力最显著, 与主观分析结论一致。

4.3 监控图像实例分析

为了验证本文提出的SBEMD-W算法的有效性, 选取夜间监控视频图像作为实验对象, 截取图像中的目标, 将本文算法和小波算法、维纳滤波等算法进行对比分析, 并采用主观和客观相结合的方式对图像质量进行评价, 设定BEMD分解的层数为4。图像去噪后的结果如图9所示。客观评价结果见表3。

图9

Fig.9

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	图9 监控图像去噪（a:原图; b:小波算法; c:总变分算法; d:维纳滤波; e:BEMD一次分解; f:本文算法）Fig.9 Monitor-caught image’ s de-noising through various algorithmic manipulations (a: original image; b: Wavelet’ s; c: total variation’ s; d: Wiener filtering’ s; e: BEMD’ s; f: SBEMD-W’ s)

表3

Table 3

表3(Table 3)

表3 监控图像去噪质量评价表 Table 3 Quality evaluation of monitor-caught image de-noising 算法 均方误差 峰值信噪比 结构相似度 小波算法 0.5681 50.5867 0.9941 总变分算法 16.7155 35.8996 0.8928 维纳滤波 5.0491 41.0986 0.9621 BEMD一次分解 9.9652 38.1459 0.9488 本文算法 9.0858 38.3237 0.9241

表3 监控图像去噪质量评价表 Table 3 Quality evaluation of monitor-caught image de-noising

观察图9中目标三轮车的后箱位置, 可以看出, 本文算法能够有效去除噪声, 较好地保留了图像边缘信息, 总变分算法也能有效去除噪声颗粒, 小波算法、维纳滤波算法和BEMD一次分解算法去除噪声的能力相对较弱, 能明显看到目标周围的噪声颗粒。表3的数据显示本文算法均方误差较低、峰值信噪比较高, 基本符合理论研究; 各方法结构相似度略有差异, 判断是由于夜间图像质量不高造成。

本文在BEMD方法的基础上提出一种适用于图像去噪的SBEMD-W算法。采用BEMD对含噪图像进行二次分解得到含有噪声的IMF分量, 结合维纳滤波最大限度地进行降噪处理, 从而达到去噪的目的。实验结果表明, SBEMD-W算法去噪能力优于维纳滤波和BEMD算法, 但依然存在一些不足：SBEMD-W算法在处理过程中运行时间比BEMD长, 降噪后的图像轮廓和边缘信息有少量损失。将SBEMD-W算法应用到彩色图像中, 实验结果证明了该方法的可行性, 但在处理过程中没有考虑图像输出的完备性, 导致处理后的图像丢失了部分细节, 但整体去噪效果良好。

BEMD算法能够把图像按照频率进行分量提取, 对图像研究具有非常重要的意义。接下来的研究方向有三个：

一是继续探究基于BEMD算法的深度应用, 期望在图像特征提取、特征检测、图像分割等更多的领域发挥重要价值。

二是BEMD拓展到彩色图像时, 保证分解过程的整体性, 更合理地对图像进行分解;

三是完善BEMD的理论基础, 寻找快速分解的方法, 提高运行效率。

总之, BEMD算法的应用与延伸在法庭科学图像处理领域的重要性越来越突出, 在案件溯源、侦查、诉讼等环节将发挥重要作用, 具有非常广阔的应用前景。